球の表面積の公式の導出

今回は球の表面積の導出について述べます。前回の熱流量に関する記事で表面積と言う言葉が出たので、今回はその立体(球)の表面積について述べようと思います。

導出方法はいくつかある。

導出方法はいくつか存在しますが、今回は一番遠回りかつ、本質的な導出方法を記載していきます。積分を用いるので、少し計算が多いです。
イメージ的には半径の異なるウッスーイわっかを積み重ねていく感じです。以下に図を示します。



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具体的な計算方法

まず以下のように球を真横から見た図を考えます。ここで球の半径は\(r\)とおきます。球の中心から任意の距離\(x\)における、幅\(dx\)の円板を考えます。なぜ円板と考えて良いのかは先ほどの図の通りです。

求める球の表面積は、半径の異なる円盤の側面積を足し合わせたものと考えられ(2番目の図を参照)、距離\(x\)における円盤の側面積は
\begin{equation}
A = 2 \pi r \sin\theta \times dx
\end{equation}
となり、これを、xがー\(r\)〜\(r\)の範囲で変化したものを足せば良いので(積分)、
\begin{equation}
S = \int_{r}^{-r} 2 \pi r \sin\theta dx
\end{equation}
となります。ここで幅dxは、以下の図から  \(dx = rd\theta\)と表される。

よって先ほどの積分の式は、変数変換
\begin{eqnarray}
(x = r\cos\theta) : r \rightarrow -r &\Leftrightarrow& \cos\theta : 1 \rightarrow -1 \\
&\Leftrightarrow& \theta : 0 \rightarrow \pi
\end{eqnarray}
と、\(dx = rd\theta\)も用いれば、
\begin{eqnarray}
S = \int_{0}^{\pi} 2 \pi r \sin\theta d\theta = 4 \pi r^2
\end{eqnarray}
となる。以上、球の表面積の公式の証明でした!いつか積分の概念についての記事も描きたいですね!



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投稿者:

中村 俊

中村 俊

1993/09/04生まれ。機械系大学院を休学し、ベンチャーでインターンしている最中。直近では、デカルトの「方法序説」に感銘を受けた。 趣味:読書、web開発の勉強、異分野の論文読んだり、記事書いたり。 最終的には経営者か研究者になりたい。

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