ベクトル積(外積)


前の記事で、ベクトル積(外積)というワードが出たので、それについて今回は述べようと思います。高校ではあまりやりませんが大学受験の問題でも結構使い所はあるので、進学校では教えているところもあるみたいです。基本は大学の範囲なので大学入ってから、教授が何の説明もなしにいきなり外積を講義で使ってきて面食らった人とかもいると思います笑。



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外積とは?

「二つのベクトルから新たにベクトルを生成すること」です。なので、外積の計算結果は必ずベクトルになります。内積はスカラーでしたね。

外積の定義を以下に示します。代数学的に書きます。\({\bf a}=(a_1,a_2,a_3), {\bf b}=(b_1,b_2,b_3)\)とすると、

\[
\left(
\begin{array}{c}
a_1\\
a_2\\a_3\\
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{c}
b_1\\
b_2\\b_3\\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
a_2b_3 - b_2a_3\\a_3b_1 - b_3a_1\\a_1b_2 - b_1a_2 \\
\end{array}
\right)
\]
となります。幾何学的には以下の図における、灰色部(平行四辺形)の面積ベクトルになります。面積ベクトルなので、面の向きを考慮しますが、外積では\({\bf b}\)を回転して、\({\bf a}\)に重ねる時の右ねじの方向が正の向きになります。

図からわかる通り(面積ベクトルなので)、\( a \times b = c\)は、\(a , b\)どちらにも、垂直なベクトルである。

また、ベクトル\(c\)は、灰色部(平行四辺形)の面積ベクトルであるから、ベクトル\(c\)の大きさ\(|c|\)はこの平行四辺形の面積である。よって

\[|c| = |b||a|\sin\theta\]

となる。以上、外積の定義について述べました。外積は三次元空間でしか考えられないので、代数学では扱いづらいですが、電磁場を理解する場合など、物理学においてはとても重要な概念なので、知っておきましょう。



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投稿者:

中村 俊

中村 俊

1993/09/04生まれ。機械系大学院を休学し、ベンチャーでインターンしている最中。直近では、デカルトの「方法序説」に感銘を受けた。 趣味:読書、web開発の勉強、異分野の論文読んだり、記事書いたり。 最終的には経営者か研究者になりたい。

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