角運動量保存則


以前に万有引力(第一宇宙速度)についての記事を書きましたが、万有引力が発見されるまでには長い歴史があります。万有引力が発見されたのは17世紀のことで、発見者はニュートンです。ニュートンは、以下に示すケプラーの法則の力を借りて、この法則を導きました。

  1. 惑星の軌道は太陽を1焦点とする軌道である。
  2. 太陽と惑星を結ぶ動径の描く面積速度は常に一定である。(面積速度一定の法則)
  3. 惑星の公転周期の2乗は、太陽からの平均距離(軌道の長半径)の3乗に比例する

そして、この法則は円運動を扱っていますので、通常のニュートンの法則だけでは論述することはできません。今回はその円運動の力学の基盤となっている「角運動量」について述べようと思います。

実際、ケプラーの第三法則は角運動量保存則を使えば、一瞬で導けます。

 

1. 角運動量の定義

上に示すように、原点からの位置ベクトルが\({\bf r}\)の質点に運動量ベクトル\({\bf P} = m \frac{d{\bf r}}{dt}\)が作用している状態を考える。

もし\({\bf P}\)が\({\bf r}\)に平行ならば、\({\bf r} \times{\bf P} =m \frac{d{\bf r}}{dt} = {\bf 0}\)が成り立ち(ここでの\(\times\) は「かける」ではなく、ベクトル積または外積であることに注意)、回転運動は生じない。原点\({\bf 0}\)から見ると、質点が近づくか遠ざかる直線運動をするだけである。

もし、\({\bf r} \times{\bf P} =m \frac{d{\bf r}}{dt} \neq {\bf 0}\)ならば、つまり\({\bf P}\)が\({\bf r} \)に対して垂直成分を持つならば、外積(ベクトル積)は生じるので、原点の観測者は回転運動が観測できる。そして、この新たに生じたベクトルを物理量として以下のように定義する。

\begin{eqnarray}
\bf L = \bf r \times \bf P
\end{eqnarray}

上の式は、質点Oの周りの回転運動の量を表すのに適切な量であり、これを角運動量ベクトルという。



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2、角運動量保存則

保存則を考える時には、「時間が経過しても変化しない」という考えを持つことが重要です。これは通常の運動量を考える際にも使えるので、覚えておいてください。

「時間が経過しても変化しない」ということは「時間に対する、物理量(ここでは運動量の変化量)が0」ということです。図で表現すると以下のようになります。

これはグラフの傾きが0なので数学的に表現すると、\(\frac{d{\bf P}}{dt} = {\bf 0}\)となります。よって角運動量保存則は「角運動量を時間で微分したものは0になることを証明する」という問題に言い換えることができます。

では早速、角運動量を時間で微分してみましょう。 角運動量の定義\({\bf L} = {\bf r} \times {\bf P}\)と、積の微分の法則を用いると、

\begin{eqnarray}
\frac{d\bf L}{dt} = \frac{d \bf r}{dt} \times \bf P + \bf r \times \frac{d \bf P}{dt} = \bf r \times \frac{d\bf P}{dt}  (1)
\end{eqnarray}

\(\frac{d{\bf P}}{dt} = {\bf F}\)(運動量の時間変化率は質点が受ける外力に等しい)ことを用いれば、

\begin{eqnarray}
\frac{d\bf L}{dt} = \bf r \times \frac{d\bf P}{dt} =\bf r \times  \bf F (2)
\end{eqnarray}

となる。円運動を考える際には、力 \( \bf{F}\)は中心力として働き、位置ベクトル \( \bf{r}\)と必ず平行になるので、ベクトル積 \(\bf r \times \bf F= 0\) が成り立つ。よって

\begin{eqnarray}
\frac{d\bf L}{dt} = \bf r \times \frac{d\bf P}{dt} =\bf r \times \bf F= 0
\end{eqnarray}
となる。

積分してやれば、\(\bf L = \mathrm{Const}\)となるので、角運動量が保存されることがわかる。

3、フィギュアスケートの最後の方の動き

ここでは、TVでよく目にする、フィギュアスケートの最後の方の動きについて説明します。演技の最後の方になると必ずと言って良いほど、体を小さく丸めるシーンがありますね。

角運動量が保存されるということは、\(|L| =|\bf r \times \bf P| = |\bf r \times m {\bf v}|\)は一定なので、回転体の半径\( r \)が小さくなればなるほど、反対に速度\(v\)は大きくなりますね。

最後の方になり、回転速度が落ちると点数が低くなる原因になるので、少しでも回転速度を上げるために(見栄えをよくするために)、あのように体を丸め(回転半径を下げ)、回転速度を上げるのです。羽生選手が角運動量保存則を知ってるかは不明ですが笑、身近なところに物理は潜んでいます。



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投稿者:

中村 俊

中村 俊

1993/09/04生まれ。機械系大学院を休学し、ベンチャーでインターンしている最中。直近では、デカルトの「方法序説」に感銘を受けた。 趣味:読書、web開発の勉強、異分野の論文読んだり、記事書いたり。 最終的には経営者か研究者になりたい。

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