以前に万有引力（第一宇宙速度）についての記事を書きましたが、万有引力が発見されるまでには長い歴史があります。万有引力が発見されたのは17世紀のことで、発見者はニュートンです。ニュートンは、以下に示すケプラーの法則の力を借りて、この法則を導きました。
- 惑星の軌道は太陽を１焦点とする軌道である。
- 太陽と惑星を結ぶ動径の描く面積速度は常に一定である。（面積速度一定の法則）
- 惑星の公転周期の２乗は、太陽からの平均距離（軌道の長半径）の３乗に比例する
そして、この法則は円運動を扱っていますので、通常のニュートンの法則だけでは論述することはできません。今回はその円運動の力学の基盤となっている「角運動量」について述べようと思います。
実際、ケプラーの第三法則は角運動量保存則を使えば、一瞬で導けます。
１. 角運動量の定義
上に示すように、原点からの位置ベクトルが\({\bf r}\)の質点に運動量ベクトル\({\bf P} = m \frac{d{\bf r}}{dt}\)が作用している状態を考える。
もし\({\bf P}\)が\({\bf r}\)に平行ならば、\({\bf r} \times{\bf P} =m \frac{d{\bf r}}{dt} = {\bf 0}\)が成り立ち（ここでの\(\times\) は「かける」ではなく、ベクトル積または外積であることに注意）、回転運動は生じない。原点\({\bf 0}\)から見ると、質点が近づくか遠ざかる直線運動をするだけである。
もし、\({\bf r} \times{\bf P} =m \frac{d{\bf r}}{dt} \neq {\bf 0}\)ならば、つまり\({\bf P}\)が\({\bf r} \)に対して垂直成分を持つならば、外積（ベクトル積）は生じるので、原点の観測者は回転運動が観測できる。そして、この新たに生じたベクトルを物理量として以下のように定義する。
\begin{eqnarray}
\bf L = \bf r \times \bf P
\end{eqnarray}
上の式は、質点Oの周りの回転運動の量を表すのに適切な量であり、これを角運動量ベクトルという。
スポンサードリンク
２、角運動量保存則
保存則を考える時には、「時間が経過しても変化しない」という考えを持つことが重要です。これは通常の運動量を考える際にも使えるので、覚えておいてください。
「時間が経過しても変化しない」ということは「時間に対する、物理量（ここでは運動量の変化量）が０」ということです。図で表現すると以下のようになります。
これはグラフの傾きが０なので数学的に表現すると、\(\frac{d{\bf P}}{dt} = {\bf 0}\)となります。よって角運動量保存則は「角運動量を時間で微分したものは０になることを証明する」という問題に言い換えることができます。
では早速、角運動量を時間で微分してみましょう。 角運動量の定義\({\bf L} = {\bf r} \times {\bf P}\)と、積の微分の法則を用いると、
\begin{eqnarray}
\frac{d\bf L}{dt} = \frac{d \bf r}{dt} \times \bf P + \bf r \times \frac{d \bf P}{dt} = \bf r \times \frac{d\bf P}{dt} （１）
\end{eqnarray}
\(\frac{d{\bf P}}{dt} = {\bf F}\)（運動量の時間変化率は質点が受ける外力に等しい）ことを用いれば、
\begin{eqnarray}
\frac{d\bf L}{dt} = \bf r \times \frac{d\bf P}{dt} =\bf r \times \bf F （２）
\end{eqnarray}
となる。円運動を考える際には、力 \( \bf{F}\)は中心力として働き、位置ベクトル \( \bf{r}\)と必ず平行になるので、ベクトル積 \(\bf r \times \bf F= 0\) が成り立つ。よって
\begin{eqnarray}
\frac{d\bf L}{dt} = \bf r \times \frac{d\bf P}{dt} =\bf r \times \bf F= 0
\end{eqnarray}
となる。
積分してやれば、\(\bf L = \mathrm{Const}\)となるので、角運動量が保存されることがわかる。
３、フィギュアスケートの最後の方の動き
ここでは、TVでよく目にする、フィギュアスケートの最後の方の動きについて説明します。演技の最後の方になると必ずと言って良いほど、体を小さく丸めるシーンがありますね。
角運動量が保存されるということは、\(|L| =|\bf r \times \bf P| = |\bf r \times m {\bf v}|\)は一定なので、回転体の半径\( r \)が小さくなればなるほど、反対に速度\(v\)は大きくなりますね。
最後の方になり、回転速度が落ちると点数が低くなる原因になるので、少しでも回転速度を上げるために（見栄えをよくするために）、あのように体を丸め（回転半径を下げ）、回転速度を上げるのです。羽生選手が角運動量保存則を知ってるかは不明ですが笑、身近なところに物理は潜んでいます。
スポンサードリンク
