1089問題


今回は面白い数の性質「1089問題」について述べようと思います。なぞなぞみたいで面白い性質です。


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1089の謎

任意の3桁の数を書いてみましょう。ただし、前から読んでも後ろから読んでも、同じ数にはならないようにします。例えば343 などはダメです。数を「987」としましょう。

1、まず桁を逆にします。そうすると987→789となります

2、次にこれら2数の大きい方から小さい方を引きます。987−789=198となります。

3、新しい数の桁を逆にします。198→891となります。

4、最後に先ほどの198と891を足します。そうすると1089になります。

他の例でもみてみましょう。例えば数字を「500」とします

1、500→005(常に3桁として扱います)

2、500ー005=495

3、495→594

4、594+495=1089

これまた不思議「1089」になりました。そうです、どの数から初めても上の手順で計算すると必ず「1089」になります。

1089の定理

先に述べた「1089問題」は10進法ならではの特徴に頼っています

以下ではそれに基づいた証明を述べます。

まず任意の数「abc」考えます。この数は実際には「100a + 10b + c」ですね。ここで先ほどの手順通りに計算していきましょう。

1、abc→cba→100c + 10b + a

2、両者の差を取ります。(100a+10b+c)-(100c+10b+a)= 99a-99c

3、上の数字は99の倍数であることがわかります。99の倍数の数を一般的に表すと、d9e(d+e=9)という形で表現できます。よってd9e→e9dとなります

4、(d9e)+(e9d)= (100d+90+e)+(100e+90+d) となります。e+d=9なので、

\begin{eqnarray}
100(e+d)+180+(e+d)&=&900+180+9\\
&=&1089
\end{eqnarray}
となります。この証明の重要なポイントは

  1. 10進法で数を表現する
  2. 99の倍数の性質に注意する

ところだと思います。このように数学には数が見せるマジックが多く存在するので、ぜひ探してみてください。


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投稿者:

中村 俊

中村 俊

1993/09/04生まれ。機械系大学院を休学し、ベンチャーでインターンしている最中。直近では、デカルトの「方法序説」に感銘を受けた。 趣味:読書、web開発の勉強、異分野の論文読んだり、記事書いたり。 最終的には経営者か研究者になりたい。

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