ポアンカレ予想の勉強を始めた。



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ポアンカレ予想について勉強し始めたので、書こうと思います。

早速なんですが、すでにこの予想は証明されているので、定理になっています。ロシア人の数学者グレゴリー・ペレルマンという人が証明したので、この人の名をとって「ペレルマンの定理」とも言います。

そして、これを理解するには「位相幾何学」という学問に足を踏み入れなければいけないみたいです。

位相幾何学

形を追求する学問らしいです。別名「ゴム膜幾何学」というのだとか。この位相幾何学では、球と立方体は同じものとして扱われます。立方体がゴムでできているとしたら、それを潰していけばやがて角が丸くなり、球のようになりますよね。ゴムの幾何学と呼ばれているのは、考える図形をゴムでできていると仮定すれば、イメージしやすいところから来ています。

そしてこの位相幾何学はとても抽象的な学問です。あまり制限がなく、三次元多様体においては物体を、球、トーラス(真ん中に穴が空いているもの)のようにたった数種類に分類して考えてしまいます。

 

そしてこの「位相幾何学」にもう少し具体性を持たせて話をする学問が「微分位相幾何学」です。この「微分位相幾何学は」、アインシュタインの相対性理論を理解するのに、必要な学問である、「リーマン幾何学」の発展を促した学問です。

さらに、微分幾何学という学問もあり、こちらは微分、偏微分、群論、代数学、積分などがわかっていないと理解できない学問ですが、それと抽象的な「位相幾何学」の二つの学問を発展させるのにとても重要な役割を担っていると言われております。

ポアンカレはもともとは、空間の3体問題を解くのを目指していました。そして、3体問題を解くための力学系に微分方程式のベクトル場がある多様体を作ることに注目し、この問題に位相幾何学を用いたらしいです。

重要な用語の解説

  • 単連結 

二次元球面において、一本のロープを面にかけた時、そのロープを一点に縮ませることができれば単連結であるという。トーラスのような多様体は。穴があるためロープを回収することができない可能性がある。

  • 多様体

曲面は平面の一部とみなせる、小片に分割可能である。多様体はこの考えを高次元に引き上げたものらしい。n次元多様体はn次元ユークリッド空間とみなせる小片に分割可能な対象であるらしい。一次元の多様体の例は曲線、二次元多様体の例は曲面、三次元多様体の例は三次元空間そのものである。他にも三次元球面がそうである。

ポアンカレ予想の命題を理解するには、この三次元球面を理解しなければいけないので、そっからである。「面」と言っているのに三次元、意味不明である。

 

ポアンカレ予想の命題

「単連結であるならば、3次元球面であるというのを証明しろ」である。逆、すなわち「3次元球面であるなら単連結」というのはすでに知られていたらしい。他に単連結な三次元多様体で未発見のものは存在しないことの証明である。

ついでに、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題に取り上げられた時点では他の次元においては完全に証明されていて、2000年の時点で未解決だったのが、三次元の場合のポアンカレ予想である。なので単純にポアンカレ予想というと全てのn次元多様体においての話になるので、注意が必要である。

2003年にペレルマンが最後に証明したのがあくまで三次元だっただけである。4次元の証明は1982年にフリードマンが解決している。

 

 

ということで今回はここまでにする。次の課題は

  • n次元球面の理解
  • 微分位相幾何学の理解

としたい。

 

 

 



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投稿者:

中村 俊

中村 俊

1993/09/04生まれ。機械系大学院を休学し、ベンチャーでインターンしている最中。直近では、デカルトの「方法序説」に感銘を受けた。 趣味:読書、web開発の勉強、異分野の論文読んだり、記事書いたり。 最終的には経営者か研究者になりたい。

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