ポアンカレ予想の勉強 その2



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ポアンカレが考えた高次元空間

我々は3次元の物を、3次元として捉えることはできません。
球が存在しても、正面からしか見えず、裏側の世界は見えません。
視覚や脳を使って、2次元的な情報を3次元に復元していると言って良いでしょう(あくまで幾何学的な観点です)。
要は、3次元空間にいる人は一個次元を落とした、2次元空間のものしか、捉えることができません。
言い換えると立体の端を捉えているのです。
この考えを応用し次元を下げていきましょう。
立体体の端は面
面の端は線
線の端は点
になります。
しかしこの考えでは、4次元以上を考えることはできません。
そこで、ポアンカレさんはユークリッドが考えた、3次元空間を逆手にとりました。
すなわち、
端が点のものは、2次元
端が面のものは、3次元
端が立体のものが、4次元
ということです。この考えならば、4次元以上の高次元を考えることができます。
これが、ポアンカレが提案した高次元を考える方法です。以上の考えの図を示します。ピンクの部分が各次元の端を構成しています。
ついでに端が立体の4次元物体は超立体と呼ばれていて、要は、立体の周りを8個の立体が囲っているものです。
しかし、決して3次元空間では再現できないので、私達が考える「囲う」とはまた意味が異なることに注意してください。



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球面が二次元とはどういうことか?

そして、前回の記事に述べた通り
「球面が2次元空間」という問題について、述べます。
球面というと、奥行きを考えてしまいますが、面である以上厚みはないので、2次元です。
地球の例をあげましょう。
地球は球体ですが、「球面」をもっています。
そして、地球の場所は球面の緯度と経度の2つのパラメータで表せます。
座標を2つのパラメータで表しているので、2次元ということになります。
また、勉強したことがあったら随時更新していきます。
今回はここまで!



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投稿者:

中村 俊

中村 俊

1993/09/04生まれ。機械系大学院を休学し、ベンチャーでインターンしている最中。直近では、デカルトの「方法序説」に感銘を受けた。 趣味:読書、web開発の勉強、異分野の論文読んだり、記事書いたり。 最終的には経営者か研究者になりたい。

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