三平方の定理と余弦定理の関係



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先日、僕が教えてもらったことを書こうかなと。

今回は「余弦定理と三平方の定理」の関係です。三平方の定理は実はいらない?ということに気づかされました。

 

余弦定理とは?

軽く復習します。

以下のような三角形があったとします。

この時に
\begin{equation}
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\theta
\end{equation}
が成り立ちます。要は三角形の6つの情報(辺三つ、角度三つ)のうち三つがわかれば他は全部計算で求まるということです。

これが余弦定理です。


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ピタゴラスの定理(三平方の定理)

次にピタゴラスの定理です。これについては以前に記事に書いたので詳細はそちらを参考にしてください。

>>>ピタゴラスの定理

ここでは以下の三角形の時の公式を書いておきます。

\begin{equation}
a^{2}=b^{2}+c^{2}
\end{equation}

 

余弦定理と三平方の定理の関係

本題に入ります。

二つの式を並べて確認して見ましょう。

\begin{eqnarray}
a^{2}&=&b^{2}+c^{2}-2bc\cos\theta\\
a^{2}&=&b^{2}+c^{2}
\end{eqnarray}

\(-2bc\cos\theta\)があるかどうかということが、みてわかると思います。

では、この\(-2bc\cos\theta\)が0になるときはどんな時でしょうか?

bとcは0になり得ないので、\(\cos\theta = 0\)の時であることがわかります。

要するに\(\theta = 90°\)の時です。

\(\theta = 90°\)はどんな三角形かというと、直角三角形ですね。

すなわち「三平方の定理」は「余弦定理」の一部、「三平方の定理」を全ての\(\theta\)に対して拡張したものが「余弦定理」であることがわかりますね。

授業で習うときは全く別々の公式のように習うかもしれませんが、実は余弦定理を知っていれば、ピタゴラスの定理を覚える必要はないのです。

式の向こうに見える関係に注目すると数学は楽しくなるので、こういう思考を大切にしていきましょう。


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投稿者:

中村 俊

中村 俊

1993/09/04生まれ。機械系大学院を休学し、ベンチャーでインターンしている最中。直近では、デカルトの「方法序説」に感銘を受けた。 趣味:読書、web開発の勉強、異分野の論文読んだり、記事書いたり。 最終的には経営者か研究者になりたい。

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