ニュートン法の復習<実はすごい簡単>



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ニュートン法

微分方程式を解く際に使う数値計算の近似解法です。ここでは簡単のため一変数関数について述べます。変数が増えても根本原理は変わらず、プログラミングする際も機械的に変数の数を増やすだけなので、特に難しくはないです。

\( y =f(x)\)とします。これを式①とします。

  1. まず微分します。
\(\frac{dy}{dx} =f'(x)\)

これを式②とします。

2. 微分の定義に従って ①を計算します

\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{(x +\Delta x)- \Delta x} \\
\end{eqnarray}

近似計算なので、極限は一回無視します。詳細は数値計算法についての専門書をみた方が早いです。

両辺に\((x +\Delta x)- \Delta x \)をかけます

\begin{eqnarray}
\frac{\Delta y}{\Delta x}((x +\Delta x)- \Delta x) = f(x + \Delta x) – f(x) \\
\end{eqnarray}

移項して整理します。

\begin{eqnarray}
f(x + \Delta x) &=&\frac{\Delta y}{\Delta x}((x +\Delta x) – \Delta x ) + f(x)\\
&=& \frac{\Delta y}{\Delta x} x + f(x) \\
\end{eqnarray}

\( f(x),\Delta x , \Delta y\)はx(t)における情報です(tは任意の時刻)。

よって\(x(t)\)のみの情報で\(f(x + \Delta x) \)が決まったことになります。


こうして任意のxについてy = f(x)を求めるのがニュートン法です。

そしてこのニュートン法は、数値計算の近似解法の中で一番雑な方法です。まず研究では使いません。しかし数値計算をやる上で大事なエッセンスが詰まっていますので、教科書の最初に書かれています。

適当に微分方程式を解くプログラムでも書いて解を比較して見れば面白いと思います。

ついでに以前自分は「オイラー法」と「ルンゲクッタ法」の解の比較についての記事を書いたので、気になる方は目を通してみてください。



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投稿者:

中村 俊

中村 俊

1993/09/04生まれ。機械系大学院を休学し、ベンチャーでインターンしている最中。直近では、デカルトの「方法序説」に感銘を受けた。 趣味:読書、web開発の勉強、異分野の論文読んだり、記事書いたり。 最終的には経営者か研究者になりたい。

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