pythonで積分、平均値推移とその標準誤差にもとづく信頼幅の計算




前回に引き続き、「 Rによるモンテカルロ法入門」のメモ。

前回の記事はこちら。

 

 


今回は
\begin{eqnarray}
h(x) = \{\cos(50x)+ \sin(20x)\}^2
\end{eqnarray}

の積分の近似精度を評価をします。以下では計算回数による、平均値の推移と推定標準誤差にもとづく信頼幅をプロットしてみます。

 

とりあえず計算で求めたい関数をグラフ描画してみる。

そうすると以下のグラフが

そして参考書に基づき、積分区間を0から1の間の乱数で与え、それの平均値と信頼区間95%の範囲の標準誤差をグラフ化するプログラムが以下。

 

 

なお今回は用いていないが、収束を見たい場合、一般的にリスト内の累積和を求めてくれるcumsum()コマンドを用いると良い。そうすると今回のようにfor文内で範囲指定ありのsumコマンドを使う必要がなくなる。

 

例)

 

そして先ほどプログラムの実行結果を示します。積分範囲を0〜1とし,integ関数を用いて積分計算した時の値(0.9652)に収束しています。これを大数の法則と言います。(グラフの横軸は計算回数)

 

labelコマンドを用いたがなぜか判例が表示されないのは許していただきたい。青線が平均値、赤が+の信頼幅における標準誤差、緑が-の信頼幅における標準誤差です。

グラフの形は参考図書と一緒になっているが、「標準誤差」をまだ完全にできていないのでもしかしたら間違ってるかもしれない。

 

標準誤差について

 

試行回数Nが十分大きい時は標準偏差\(\sigma \)を用いて、

\begin{eqnarray}
S,E = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}
\end{eqnarray}
と表せる。

上の定義からわかるように、その試行回数によってどの程度のばらつきが生じるかを、全ての組み合わせについて(試行回数)の標準偏差で表現したものである。

なので、誤差評価に標本サイズを加味したい場合は標準偏差ではなく「標準誤差」を用いる。

 

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投稿者:

中村 俊

中村 俊

1993/09/04生まれ。機械系大学院を休学し、ベンチャーでインターンしている最中。直近では、デカルトの「方法序説」に感銘を受けた。 趣味:読書、web開発の勉強、異分野の論文読んだり、記事書いたり。 最終的には経営者か研究者になりたい。

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