モンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題

モンティ・ホールとは、海外のクイズ番組の元司会者である。この問題は直感的な答えと実際の答えが異なる、確率事象の良い例である。この問題が出回った当時は、正解を出したIQ225のマリリン・ボス・サバントが博士号取得者を含む、1万人近い人から投書が殺到し問題になった。
以下に問題の手順を示す。

  1. ある人が3つの扉から一つの扉を選択する。一つの扉は当たりで、二つの扉は外れである(実際には、高級車とかヤギが使われている)。
  2. 司会者は、ある人が選んでいない残りの二つの扉のうち、ハズレの扉を開ける。なお、司会者はどの扉が当たりで、どの扉がはずれかが分かっている。
  3. その後、司会者はある人に「扉を選択した扉を、今のままにするか?それとも、残りの一つの扉に変更するか?」と聞く。
    以上がこのモンティ・ホール問題の手順である。文章だけではイメージしづらいので、以下に図を示す。

    手順



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解説

どうだろうか?直感的には扉を変更しようがしまいが、確率は\(\frac{1}{2}\) で変わらないだろうと考えがちです。答えは「変更した後の確率は\(\frac{2}{3}\)で、変更しないと当たる確率は\(\frac{1}{3}\)」となります。よって選択した扉を変更した方が、良いということになります。
ここでは私自身の見解を述べていきますので、説明が気に食わない人はぜひ他のサイトを参考にしてください。本質的には変わらないはずです。
注目すべきは、当たりとハズレは表裏の関係にあるということです。ハズレの確率を考えていきましょう。
手順1の時点で「A」がハズレの確率は\(\frac{2}{3}\)ですよね。手順2の後も、これは変わりませんね。司会者がする作業と扉「A」は独立した関係にありますので。
次に扉「C」に注目します。手順1の時点で「C」がハズレの確率はA同様、\(\frac{2}{3}\)ですよね。手順2の後は、どうでしょうか?司会者は「B」「C」からハズレの扉を選択するので、扉「C」と司会者の作業は、独立していません(従属関係)。これを踏まえると、手順2の後の「C」がハズレの確率は、二つの扉から一つの扉を選択する確率\(\frac{1}{2}\)をかけて、
\begin{eqnarray}
Q(C) =
\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}
\end{eqnarray}
となります。
扉「A」「C」の当たりの確率は、ハズレの確率の余事象なので、1 – ハズレの確率 で求まりますよね。よってそれぞれの扉の当たりの確率をP(A),P(C)とすると\begin{eqnarray}
P(A) =
1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
,
P(C) =
1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\end{eqnarray}
となります。当たりの確率に注目すると、一見変わっていないような錯覚に陥りますが、当たりを考える = ハズレを考える ということを忘れてはいけません。冷静に考えて、どれが当たりでどれがハズレかが分かっている司会者が、ハズレの扉を公開しているのに、ハズレの確率がどちらも一緒(\(\frac{1}{2}\))なんてそちらの方が直感的に違和感がありますよね。私が以上に説明した以外にも、面白い解説をしている方はいっぱいいるので、そちらも参考にしてみてください。友達や学校の先生にぜひ、この問題を出してみてください。きっと驚くでしょう。

 

参考文献:
リチャード・エルウィス (2016)『マスペディア 1000』 株式会社 ディカヴァー・トゥエンティワン



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黄金比って一体何?~自然界で最も美しい比について~

黄金比とは?

黄金比とは自然界で最も美しいとされる比のことであり、定義は\( 1 : \frac{1 + \sqrt[]{\mathstrut 5}}{2} = 1 : 1.618… \)である。黄金比はその性質から、特にデザインの観点で優れており身近なところに潜んでいる。
例えばこの記事の画像である’ウィトルウィウス的人体図’、Appleのロゴマーク、モナリザなどにも取り入れられている。
Appleのロゴマーク (http://dailynewsagency.com/2011/08/30/fibonacci-e-a-apple/から引用)

ここで、上の図の左側の円の中に書かれている数字に注目していただきたい。これは面積1の円を基準とし、その円の接線とその円に接するように面積2の円を描く。そして先ほど同様、面積2の円の接線と面積2の円に接するように面積3の円を描いていく。これを以後繰り替えしていくわけだが、描く円の面積に規則があることが理解できるだろうか。円の面積を書き出してみると、
\[
1  2  3  5  8  13  ・・・・・・
\]
これはフィボナッチ数列と呼ばれるもので、任意の第n項はn-1項とn-2項の和で表される(第n項 = n-1項 + n-2項)というものである。



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フィボナッチ数列と黄金比の関係

このフィボナッチ数列のある項の数字をその前の項の数字で割ってみてほしい。簡単のため、最初からやってみると
\[
\frac{2}{1} \hskip1em \frac{3}{2} \hskip1em \frac{5}{3} \hskip1em \frac{8}{5} \hskip1em \frac{13}{8} \hskip1em \frac{21}{13} ・・・・・・・
\]
書き直すと
\[
2 \hskip1em 1.5 \hskip1em 1.666 \hskip1em 1.6 \hskip1em 1.625 \hskip1em 1.6153846 ・・・・・・・
\]
ある値に近づいていっているのがわかると思います(笑)。念のためもう少しやります。
\[
\frac{34}{21} = 1.6190 \hskip1em \frac{55}{34} = 1.61764 \hskip1em \frac{89}{55} = 1.6181818 ・・・・・・・
\]

だんだんと最初に説明した黄金比に収束(近づいている)のがわかりますね。これを無限に繰り返す(n →\(\infty\))と黄金比に近づきます。黄金比は無理数なのでnを無限に増やさないとダメです。
1000000000回上記の作業を繰り返そうとも限りなく近くなるけど、完全に一致させることはできない、これが無理数の難しいところですね。

このように黄金比以外にも自然界には白銀比や、青銅比といった法則もあるみたいです。気になる人はぜひググってみてください!!


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