「統計力学」勉強しようとしたけど、マクスウェルの速度分布が難しすぎる件ww



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先に言っておきますが、マクスウェルの速度分布について綺麗にまとめているドキュメントではありません。

 

その過程というかあまりにもはやすぎる段階でつまづいたので、ネタとして記録しておこうと思ったまでです。誰得な内容ですが、寝る前や研究の休憩途中で「こんなこともわからない奴が東工大の大学院生か!」とでも私を罵ることで、読者様に優越感を与えられるなら幸いですよ。

 

参考図書は以下。すごく細かく書いてあるのでわかりやすいです。物理学科の学部生ならヨユーで理解できると思います。(自分は機械系なのでお許しをww)。

ついでにこの本は東北大で宇宙物理学(MHD)の研究をしているドクター(吾輩の兄)から譲りウケたもの。

   >>>熱力学・統計力学
   

 

マクスウェルの速度分布の粗い導出

 

本書には

分布が適当になると、分子同士の衝突にも関わらず分布が変わらなくなるであろうが、それはどのような分布であろうか。これは分子運動論で大切な問題である(p185から抜粋)」

この速度分布を雑に導くためにマクスウェルが最初においた仮定が

分子の3方向の速度成分の分布は、違う方向について互いに独立である」というもの。

xとyとz方向の速度分布はそれぞれ独立だと。なんだか偏微分とかしなそうで楽そう!

で厳密にはこの仮定さえも証明が必要らしいのだが、これを証明なしで仮定することで簡単に速度分布が求まるみたい。

 

だがしかし…

 

N個の分子のうち、速度成分が

\begin{eqnarray}
(v_x, v_y , v_z) \mathrm{と} (v_x + dv_x, v_y + dv_y, v_z + dv_z)
\end{eqnarray}

の間にあるものの数を

\begin{eqnarray}
F(v_x, v_y , v_z) dv_x dv_y dv_z
\end{eqnarray}

とする。

この仮定はぎり理解できました。

速度(vx,vy,vz)時点での個数を\(F(v_x, v_y , v_z)\)とおけば速度空間で考えた場合、以下の図のように体積をかけることで、\((v_x, v_y , v_z) \mathrm{と} (v_x + dv_x, v_y + dv_y, v_z + dv_z)\)間の数が計算できるのは想像できます。

 

 

 

問題はこの後の文章。

この現象についてどの方向も全く同等であるから、\(F(v_x, v_y , v_z)\)は速度ベクトル\(\vec{v}\)の大きさだけ、したがってv2によるはずである。これを\(F(v^2)\)と書こう。(p185から引用)」

  • どの方向も同等→それは仮定からわかる
  • \(F(v_x, v_y , v_z)\)は速度ベクトル\(\vec{v}\)はv2による→????

 

なんで方向依存性がないと速度分布が大きさに依存するのー?

 

マジでこんなことつまづく奴おるんかいなって感じです。

 

さらに

「\(v_xとv_x + dv_x\)の間に数は\(v_x\)だけの関数\(f(v_x)\)に比例していて…」

またここにきて新たな関数\(f(v_x)\)。もうなんかね。さすが「物理」だよって感じですね。

これを職業としてる人は頭どうかしてるんじゃww

 

最近東大が熱力学第二法則を量子力学使って証明したみたいな感じの記事がありましたね。

 

東大の同い年の理論物理の研究している大学院生と話してみたいなww

頭の回転早すぎて、会話にならなさそうww

 

趣味で「物理学」はこれだから楽しいですね。アウトプットが求められてるわけではないからわからんくてもストレスかからないですし。

 

 


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地球のトンネル -反対側まで何分?-



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地球の重力

皆さん常日頃から感じている重力。この重力のおかげで、我々は大地の上に立つことができています。

また飛行機からスカイダイビングしたり、ジェットコースターで落ちるスリリングを楽しんでいるわけですね。

ではこの重力の向き、我々日本の反対側にいる人たちはどのように感じているのでしょうか。

答えは簡単、というよりも常識とでもいいましょうか。

地球の反対側にいる人だって普通に立っているのです。答えはやはり地面に向かって重力を感じている、です。

要するに、我々地球の上に住む生命は皆、地球の中心に向かって重力で引っ張られているのです。

地球の重力は地球中心に向かっている



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地球の中心を貫くトンネルを作ろう!

図1を見ればわかる通り、地球の反対側では重力の向きは反対ですね。

ということは、地球の中心までは重力で加速されてトンネルを落ちていき、中心を通り過ぎた後は重力で減速しながらトンネルを登っていく、そんなトンネルが作れるはずです。

作れるかどうかという現実問題はさておき、この夢のようなトンネルができれば、なんのエンジンも必要なくおよそ45分で反対側に到着できます。

必要なのは母なる大地、地球の重力エネルギーだけです。

図の上半分では、地球の重力 (青矢印) で加速され地球の中心へ向かう。 中心を通り過ぎた後は重力で減速されながら 反対側の地表に向かって上昇していく。

 

 

 

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熱力学第二法則(トムソンの原理と第二種永久機関)



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熱力学第二法則について、できるだけ図を用いて、直感的に理解できるように書いていきます。

熱力学第二法則の出発点

熱力学第一法則は、エネルギーを「無」から作り出すような永久機関は存在しないという主張ですが、この主張に反さない効率100%の熱機関は存在しうるか?

というのが第二法則の原点です。

「熱を全部仕事に変える」というのは実際不可能ではないですね。理想気体の等温過程を思い出してください。作業物質の気体の内部エネルギーが不変なので、加えた熱量は全部仕事になってピストンを強く動かします。以下のようなイメージです。



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トムソンの原理

しかし上の図だけでは、ピストンが下がったままで、上に戻ることはありませんので、当然熱機関として意味をなしません

なので、ピストンを元へ戻し、作業物質も元に戻るようにして、周期的に働かせる必要があります。

ピストンを元へ戻すには圧力を弱めておかないと、せっかくやらせた仕事をまたそれに使われてしまいます。なので、作業物質(気体)を冷却する必要があります。

これがカルノーサイクルでいう、低温熱源への熱の放出ということになります。

この放出(Qout)を無くし、「温度の決まったただ一つの熱源から熱を受け取って、それを全部仕事に変え、それ以外に何の変化も残さないような過程は実現不可能である」というのがトムソンの原理(ケルビンの原理)です。

要はQoutは絶対に0にはならないということです。

 

そして、もし「トムソンの原理」に反する過程が可能なら(Qout=0が可能なら)、それを用いて熱機関を作れば、地面から熱をとって走る自動車など省エネルギーに役たつ機械が作れるのは容易に想像できます。

自動車の場合は止まるときにブレーキで発熱するので、この車が走ったところで地球上が寒くなることは当然ありません笑。

こういう機械があれば、その便利さは第1種永久機関に劣らないので、これを「第二種永久機関」と言います。

すなわち「トムソンの原理」を言い直せば、「第二種の永久機関は存在しない」ということになります。これをオストヴァルトの原理と言うこともあります。

 

第二種永久機関の例

ルームクーラーで説明します。

部屋の空気を熱源にすれば、出てきた仕事は隣の部屋の扇風機を回すのに使えます。そして実在のクーラーでは電力を消費することになりますが、第二種永久機関では、仕事を生むことになるので、それで発電して電力会社へ供給することができるようになりますね。

こんなのは実際にはありえないので、第二種永久機関のイメージができたのではないかと思います。

熱力学第二法則の説明はこれから、クラウジウスの原理→ケルビンプランクの原理 と続きますが続きは別の記事で書いていきます。

 



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世界一わかりやすいエントロピーの考え方



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今回は、多くの理工系学生を悩ます「エントロピー」について、書こうと思います。

このサイトの趣旨でもあるのですが、ここでは数式については触れません。教科書や他のサイトを見れば書いてありますからね。

あくまで、これを読んだ後に数式を理解する、イメージしやすくするための「概念」の説明をしていきます。

この概念が何かわかっていないと、理解しづらくなりますし公式だけ覚えたところで、使い所が不明のままになってしまいますのでね。

少し長文になりますが、読み終える頃には、友達にドヤ顔で説明できるようになっているはずです。

変数(エントロピー)の導入

物体を熱力学的に扱うのに温度、体積、圧力、内部エネルギー、エンタルピーなどを扱いますが、これらの変数だけでは論じることができない現象があるということをまず説明します。

以下の図を考えます。

器の半分に理想気体を満たし、他の半分は真空にしてある状態を考えます。

真ん中の仕切りの穴を開ければ、(b)のように気体は容器全体を一様に満たして、平衡状態になります。

ここで、注意して欲しいのは(b)の状態を放置しても(a)の状態にはならないということです(不可逆過程)。

(a)と(b)を比べるのに、温度も内部エネルギーも等しいです。体積は違います。

だとすると、「体積の違い」が(a)→(b)の移行の原因になっていると考えられます。

すなわち、気体には体積が大きくなろうとする傾向があると言い換えることができますね。

他の例を示します。以下の図を考えます。

(a)は二つの金属魂が初め異なる温度(θ1とθ2、θ1>θ2)にあり、接触すると(b)のようにθの温度になって、熱平衡に達するとします。

この時エネルギーが熱の形で、左半分から右半分には流れたことになりますが、この傾向はどう言い表したらよいでしょうか?

なお、「熱は温度の高いところから低いところに流れる傾向にあり、その逆には流れない」というのは経験則から確かであるとします。

その上で、以上の二つの例の共通な部分は一体なんでしょう?

もし共通なところがあるならば、各々違う表現で言い表されるよりも、もっと共通な言い方がないものであろうか。

ここで、もう一つ例を考えます。以下の図を考えます。

一つ目の例と似ていますが、(a)のように中央で仕切りされた、容器の左右の部分に種類の違う気体AとBを入れ、その温度、圧力を等しくしておきます。

中央の壁を取り去るか、この壁に穴を開けると、両方の気体が次第に混合した後、一様にまじって変化が止まります((b)の状態)。

この時は、各々の気体が別々にその体積を増加しようとする傾向を持つ結果、このようにまじりあうと考えられます。


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分子論の立場で考える。

上述した現象を分子論の立場で考えます。

一つ目の例の場合、(a)で中央の壁を取り去る前には気体分子は容器の左半分の中だけにあり、右半分には来られないという規則に従っていると考えられます。

中央の壁を取り去ったあと、(または穴を開けたあと)はこの規則がなくなるので、(b)のようにどちらの半分にも任意に存在するため、結局全体積を一様に満たすようになると考えられます。

(a)と(b)を比べると、(a)の方が秩序があり、(b)の方が無秩序と言えます。

これは3つ目の例を考えるとわかりやすいですね。(a)では左半分にA種の気体分子、右半分にB種の気体分子が別々に別れていたのが、(b)ではこれらが入り乱れて混合していますね。

この例からも (a)は秩序にある状態、(b)は無秩序の状態と考えられますね。

次に二つ目の例をまた考えます。高温の物体と、低温の物体を接触させる場合を考えます。

分子論の立場からいうと、(a)の状態から始めて、エネルギーが分子の間でやりとりされるうちに次第に一様な分布になると考えられます。

この場合も(a)の状態でエネルギーの分布について比較的に秩序のある状態にあり、(b)の状態は(a)よりも無秩序の状態にあると言って良いですね。


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結論

以上のように分子論的に考えると、上の三つの例に共通に言えることは多くの分子から成り立っている体系は秩序正しい状態から無秩序の状態に移ろうとする傾向を示していることですね。

 

そして、熱力学において上に述べたような現象進行の方向を決めるために、分子論の秩序、無秩序の考え方に相当するような、状態量がエントロピーです。

 

「分子論」の秩序状態から無秩序状態への移行ということは非常に自然で、原始的な考え方と言えます。

逆に、これに相当する「熱力学」のエントロピーの考え方はそんなに原始的ではなく、比較的長く、冗長な理論的研究の末に表れてきます(詳細は熱力学の教科書に書いてあります)。そしてこの理論が熱力学第二法則です。

 

最後に

以上「エントロピー」の概念について説明していきました。要は秩序の有無の状態量ですね。順を追って説明すればそんなに難しい概念ではないことに気づいてくれたと思います。ぜひ友達に自慢してみてください。


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カルダシェフ・スケール



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カルダシェフ・スケールとは?

宇宙文明の考え方です。
かなり、スケールのでかいはなしです。ここではもちろん、地球外生物の存在を仮定してます。

 

存在するしないはここでは述べていません。

 

存在すると仮定して、その星の文明を分類するとしたら、こういうカテゴリーで分類できますよねってはなしです。

 

簡単に言うなれば、惑星に住んでいる知的生物の偏差値(宇宙偏差値)的なものを想像すればわかりやすいとおもいます。

 

そして、このカルダシェフ・スケールでは高度文明を以下の3つのカテゴリーに分類してます。
  • I型文明

親星からの光を利用するための巨大なソーラーパネルを建設したり、全ての原子核を核分裂と核融合に使ったりすることで、本拠地の惑星にある全

エネルギーを利用できる。

ついでに、これは大型の水素爆弾を爆発させて得られるエネルギーに相当します。

  • II型文明

親星から放出された全エネルギーを補足するダイソン球のようなエネルギー収集構造物の建設を行なっている。

ダイソン球とは、言うなれば、星のエネルギーを収集するための超デカイ、宇宙ステーションと考えて良いです。

  • III型文明

太陽のエネルギー出力のおよそ1000億倍に相当する、銀河内の全ての星が放出するエネルギーを利用することが可能である。

 

といった感じです。



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地球がしょぼく感じるよーな分類方法ですね笑。我々人類は、当然I型にもはいれません笑。

 

まぁ、これくらい大げさにやらなかったら、正直この概念の意味がないですしね。大事なのは、地球を基準にすることではないですからね。

 

私自身もこの考えに賛成です。まさか全宇宙で地球人が一番頭良いなんて思ってません。

 

宇宙偏差値で言えば、せいぜい、50から55くらいが地球人のレベルだと思います笑

 

ホーキング博士によると、地球と同じように高度に文明を持つ星は少なくとも、一兆個はあるらしいです。

 

宇宙の星の数なんて無限なんで、そのうちの一兆なんてあってないようなものです。一兆でも少ないと思います。

 

まさか地球が一兆位中1位だなんて、そう考える方が、馬鹿げていますね
都合が良すぎます。

 

一位ではないにしろ、ピタゴラス、ニュートン、アインシュタインと受け継がれてきた科学史を見れば、まぁまぁの位置にはいるんじゃないでしょうか。

 

宇宙で「光速は絶対的なものである」ということも発見しましたし。(特殊相対性理論)

 

ただこれもホーキング博士のことばをお借りしますが、高度に発達した文明は必ず、資源が枯渇し滅びるといわれているので、かと言って地球の文明がゴミに感じる程、高度に発達した文明も存在し得ないということです。

 

タイムマシンやワープ装置を作っている星が1つくらい存在していいと思いますが、そう都合よくはいかないのでしょう。
今の地球でさえ、環境問題や人口増加、資源枯渇が叫ばれているくらいですからね。

 

今回は、SFチックな内容でしたが、こういう概念が存在し、研究の一分野として学者が今もどこかで、この理論を突き詰めていることを覚えておいて下さいね。
なんともロマンがある研究分野です!



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電場の「場」って一体何よ?



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電場の定義

電磁気学をやるとまず初めに習うのがクーロン力であるが、その次に習うのが、おそらく「電場」である。

そして教科書に書いてある通り誰もがこう習う。

「空間内の位置rに十分小さい、電荷qを置いた時にその小電荷が、力F(r)を受けたなら、その位置の電場は単位電荷あたりの力、すなわちベクトル
\begin{eqnarray}
E(r)=\frac{1}{q}F(r) [\mathrm{N/C}]
\end{eqnarray}
で与えられる」、と。

「電場」の定義を覚えるしかないのか?

こういう質問をするとたまにこういう人がいます。「これは定義だから覚えるしかない」定義とはそういうものだって。しかしそれは違います。それはあくまで「原理」の話です。「原理(そういうものだと受け入れることでしか、議論が先に進まないもの)」があって、「定義」が存在します。そしてその「定義」の上に成り立つのが「定理」です。

なので、「定義」とは「原理」から導かれるものだと言っても過言ではないです。「原理」が何かイメージできない人は「ユークリッド原論」を読んで見てください。

我々からしたら当たり前じゃんと思うことしか書いていないはずです(少し言い過ぎかもしれませんが)。

  • 「点」とは部分を持たないものである
  • 「線」とは幅を持たないものである。
  • 等しいものに等しいものを加えた同士は等しい

とか、以上は一例ですが、「原理」がどういうものかイメージできたんじゃないでしょうか。「慣性の法則」も原理です。

  • 外力が働いていない時に物体は、直前の運動をし続けるものである。

 

「電場」とはどういう状態か?

電場の話に戻します。

なので、「電場」は「電磁気学を議論する上で、それを仮定して話を進めた際に、原理に反さないもの」と言えます。

先に、電荷が定義されている今、「電荷が作用する空間」を「電荷が存在しない空間」と差別化する必要がありますね。そのためにファラデーやマクスウェルが電荷が存在する空間に「電場」なる空間を「定めた」のです。

もう少し詳しく書くと以下のようになります。

電荷Qが存在すれば、その周りの空間が電荷がなかった時と比べて、異なる状態になり、そのことを電荷Qがその周りの空間に「電場を生み出した」といいます。そしてその状態にある空間(電場)内に他の微小電荷qが持ち込まれたならば、qはその空間、つまり電場から力を受けます。

 



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地球の例で考える

地球があれば、その質量Mが周りの空間を地球がなかった時とは異なる状態にし、それを地球の質量がその周りの空間に「重力場を生み出した」という。そして、その状態にある空間、つまり重力場、内に持ち込まれた物体(月や人工衛星)は、その空間(重力場)から力を受けるということです。

一言であらわすと

上記のことから「場」とは空間のこのような物理的状態を言います。

 

どうでしょうか?学校の授業でいきなり定義とか説明されても理解できない自分がいたので、定義の前に「場」の概念を少しでも多くの人に知ってもらえれば光栄です。



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特殊相対性理論その2

前回の記事のアイキャッチ画像にE=mc2を使っておきながら書ききれなかったので、今回はそれについて書こうと思います。特殊相対性理論から導かれる「時間の相対性」についてはすでに話したので、質量の相対性→エネルギーの相対性→E=mc2 という流れで書いて行こうと思います。

>>>前回の記事「特殊相対性理論」はこちら

質量の相対性

物体が光速に近い速度で進んでいて、さらに加速しようとする大きな力を受けているとします。ニュートン力学においては、この状態なら、ある時間経過後、光速を超えると考えられますね。

しかし相対論では、これはありえないので、ニュートンの運動方程式F=m\(a\)で予測されるものより、小さくなるはずです。つまり物体が、光速に近づけば近づくほど、加速度は減少していきます

そして力Fは一定なので、\(a\)が小さくなるにつれ、質量mは増加しなければなりません。これにより、物体の質量には2通りの見え方があることになります。静止している観測者からは、質量はmのままですが、物体が光速に近づくにつれ、mは無限大に発散します。2つ目は静止質量m0 です。これは物体そのものの慣性系の中での質量です。その慣性系の中では物体は静止していることになります。



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エネルギーの相対性

速度が相対的であるため、運動エネルギーというニュートン力学の概念は絶対的なものではなくなりました。特殊相対性理論では、質量までもが相対的であることは上述した通りです。mの値も慣性系の選択に依存し、結果として運動エネルギーも相対的であり、慣性系に依存するという結論になってしまいます。そしてこれが原因で、アインシュタインは1905年の論文でエネルギーについての概念を再度検討することになったのです。

E = mc2

エネルギーと質量が相対的なものであることは上述した通りです。なので、物体が速くなればなるほど、エネルギーと質量も増加することになります。そしてアインシュタインはそれらの増加率がc2に比例するということを発見したのです。

逆に物体の動きが遅くなっているときは、相対論的な質量も減少することになります。しかし決して0にはならず、一定の下限があり、その値は静止質量mになります。さらにアインシュタインは物体のエネルギーが速さとともに、減少することも発見しました。これも下限が存在し、その値は静止エネルギーEです。

そしてこの静止エネルギーが意味するのは、任意の物体はただ質量があるだけでエネルギーを持つということに他なりません。そしてその両者を結びつけたのがE=mc2ということです。相対性理論により、流動的になった全ての事柄の中で、これら3 つの数E,m,cは絶対であり、慣性系の選択に依存しないことの証明をしたのです。



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特殊相対性理論について述べようと思う。

今回はアインシュタインの特殊相対性理論について、少し勉強したので書こうと思います。まずは、特殊相対性理論について述べる前に、「ガリレオの相対論」について述べていきます。

ガリレオの相対論

ガリレオの相対論は一定速度で運動しているどんな観測者にとっても、物理法則は不変であるというものです。光速に近い宇宙船で振り子の実験をしようとも、学校の理科室でやる振り子の実験をしようとも、その結果は絶対に変わることはない、とガリレオは考えました。どこにいても実験結果は変わらないので、宇宙船内にいる振り子の実験の観測者は自分たち(宇宙船)が今、動いているのか止まっているのか、どれくらいの速度で動いているのか?などを判断することはできませんね。

この「ガリレオの相対論」は電車の中で簡単に、感じることができます。電車の中で目をつぶれば、現実的には揺れがあるので、止まっているか動いているかは判断できてしまいますが、前進しているか後退しているかは、乗客である我々は判断できません。これがガリレオの相対論です。

 

そしてこの「ガリレオの相対論」がのちに、アインシュタインの「特殊相対性理論」の元になる考え方なのです。


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特殊相対性理論

アインシュタインはガリレオの相対論を疑いました。光速においても果たしてそれは成り立つのか?と。和たちが時速100kmで進む車に乗っているとします。反対車線からきた車も100kmでこちらに進んでいる場合、速度の相対性を考慮すれば(自分たちの速度を足して)時速200kmでこちらに向かってくる計算になります。

次に光速で進んでいる宇宙船に置き換えます。宇宙なので、車線はありませんが笑、こちらに光速で向かってくる宇宙船があった場合、車と全く同様に考えれば、自分たちは光速で進んでいるので、光速の2倍の速度で宇宙船が向かってくるように感じるはずです。

しかしアインシュタインは「光速の空間において、ガリレオの相対性は成り立たず、光速を超えることはない」と言いました。どんな観測者から見ても光速は不変であると。この考えをもとに導かれた新たな運動の法則が「特殊相対性理論」というわけです。そしてこの理論により、それまで存在していた、電磁気学と力学の矛盾を解決し、さらに空間、時間、物質の性質に驚くべき新事実をもたらしました。

長さの収縮と時間の遅れ

ならガリレオの相対性が成り立たないのなら、光の速度で進む物体(上の例では宇宙船)には何が起きるのか?それは、周辺の空間が縮まり、時間が引き伸ばされます。空間が縮まることを「長さの収縮」と言います。

例えば、光速で進む宇宙船を外から観測者が見たときは、実際の宇宙船の長さより、短く見えます。そして、時間が引き伸ばされるので、宇宙船が光速で10年間宇宙を旅行し、スタート地点に戻ってきたとしましょう。宇宙船内の人はきっかり10年後にスタート地点に戻ってくることになりましが、スタート地点にいた観測者は時間の引き延ばしの影響を受けるので、10年以上時間が経過したことになります。なので、宇宙船で旅行していた人たちは、スタート地点にいた観測者からすると、自分たちより若くなっていることになります。

宇宙船で旅行した人たちからすれば、「あれ10年のつもりが若干時間進んでるじゃん!」ということになり、要は未来へ行ったことになります。すごく奇妙な話ですが、これらの現象は現実的に起こっている現象であり、実際、亜原始粒子を光速に近づける粒子加速器という装置では日常的に起こっています。



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慣性の法則を本当に理解することを目指す。

「電車が止まった時に、どうしても動いてしまうのが慣性力だよ」って言われてもなぁ…

高校の時、授業でこう言われた人は多いと思います。でも教科書には、慣性力は「見かけの力で本当に働いているわけではありません」と書いてある。どっちなんだよwwそう思う人は多いと思います。電車の説明は誤解を招くので良い説明とは言えません。

今回はその間違った解釈を直し、本当の「慣性の法則、慣性力の理解」をしましょう。

慣性の法則の正しい理解

慣性系とは「物体に力が働いた時、それに比例した加速度の生じる系」です。式で書くと、
\begin{eqnarray}
F = m \times a \leftrightarrow a = \frac{F}{m}
\end{eqnarray}
の加速度が生じる系となります。別な表現をするために、もう少し深掘りします。

慣性系で、加速度が働かない場合はどういう時でしょうか? \(a = 0\)の時なので、 \(F = 0\)の時ですね。当たり前と言っちゃ当たり前です。

要するに、慣性系は「外力が働かなければ、物体は加速せずに、そのままの状態を保つ(等速運動しているなら、等速運動のまま)」となります。これが「慣性の法則」です。ここまでは教科書通りでしょう。しかし、この書き方は特別な条件のみを取り扱って述べていますね。「外力が働かなければ」と言っているのですから。

そんな特別な場合のみを取り上げて、それを原理のように扱ってしまって良いのか?と思う人はいると思います。しかしそれで良いのです。「慣性の法則」の真髄は、「宇宙には、運動方程式の成り立つ式すなわち、慣性の法則の成り立つ座標系が少なくとも一つは存在する」という、慣性系の存在の主張ないしは、要請であるからです。

は?って思った人いるかもしれません。しかしこれは「理解する」というよりも、「受け入れる」に近いです。これは定理とか、定義なのではなく、原理です。「原理」とはそういうものとしか言いようがないものです(証明のしようが無いもの)。実際に、人類がここまで技術的に進歩したのはこのように決めつけた結果、ニュートン力学に一切の矛盾が含まれないからです。



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慣性力の正しい理解

「外力が働かず、加速度が生じない系」を慣性系と呼ぶというのは、上述しましたが、この慣性系に対して「外力が生じる(加速度が生じる)」場合ももちろんあります。それは「非慣性系」と呼ばれています。 電車の例では、外から見ている人たちが慣性系。電車内で見ている人が非慣性系というイメージです。ここで、摩擦がない状態で電車が前に進んだとします。非慣性系(電車内の座標系では、)以下の図のようになるはずです。

非慣性系なので、電車が進むと考えるよりも、車内の人が相対的に見て、後ろへ滑るというイメージです。しかし実際には、靴の摩擦があり、電車が発信しても後方へ滑ることはありません。電車発進時に後ろへ力を受けるのは「靴が後ろへ滑るのをそうさせていない証」です。

なので、この記事の題名の正しい理解は、

慣性力→後ろへ力を受ける ではなく、

慣性力→後ろへ滑る→靴の摩擦でそれは防がれる(電車と共に前方向に運ばれる)であるから、靴の裏の摩擦で電車の加速度方向にひきづられているだけです。

以上、慣性系と慣性力について日常観察できるものを取り上げて、述べていきました。「外力が働かなければ、物体は加速せずに、そのままの状態を保つ(等速運動しているなら、等速運動のまま)」というのはあくまで慣性系の原理であるから、ニュートン力学が通用しない場合は、違う座標系を誰かが定義しなければなりません。相対性理論の中で使われている座標系は「アインシュタインの座標系」と呼ばれています。



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角運動量保存則


以前に万有引力(第一宇宙速度)についての記事を書きましたが、万有引力が発見されるまでには長い歴史があります。万有引力が発見されたのは17世紀のことで、発見者はニュートンです。ニュートンは、以下に示すケプラーの法則の力を借りて、この法則を導きました。

  1. 惑星の軌道は太陽を1焦点とする軌道である。
  2. 太陽と惑星を結ぶ動径の描く面積速度は常に一定である。(面積速度一定の法則)
  3. 惑星の公転周期の2乗は、太陽からの平均距離(軌道の長半径)の3乗に比例する

そして、この法則は円運動を扱っていますので、通常のニュートンの法則だけでは論述することはできません。今回はその円運動の力学の基盤となっている「角運動量」について述べようと思います。

実際、ケプラーの第三法則は角運動量保存則を使えば、一瞬で導けます。

 

1. 角運動量の定義

上に示すように、原点からの位置ベクトルが\({\bf r}\)の質点に運動量ベクトル\({\bf P} = m \frac{d{\bf r}}{dt}\)が作用している状態を考える。

もし\({\bf P}\)が\({\bf r}\)に平行ならば、\({\bf r} \times{\bf P} =m \frac{d{\bf r}}{dt} = {\bf 0}\)が成り立ち(ここでの\(\times\) は「かける」ではなく、ベクトル積または外積であることに注意)、回転運動は生じない。原点\({\bf 0}\)から見ると、質点が近づくか遠ざかる直線運動をするだけである。

もし、\({\bf r} \times{\bf P} =m \frac{d{\bf r}}{dt} \neq {\bf 0}\)ならば、つまり\({\bf P}\)が\({\bf r} \)に対して垂直成分を持つならば、外積(ベクトル積)は生じるので、原点の観測者は回転運動が観測できる。そして、この新たに生じたベクトルを物理量として以下のように定義する。

\begin{eqnarray}
\bf L = \bf r \times \bf P
\end{eqnarray}

上の式は、質点Oの周りの回転運動の量を表すのに適切な量であり、これを角運動量ベクトルという。



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2、角運動量保存則

保存則を考える時には、「時間が経過しても変化しない」という考えを持つことが重要です。これは通常の運動量を考える際にも使えるので、覚えておいてください。

「時間が経過しても変化しない」ということは「時間に対する、物理量(ここでは運動量の変化量)が0」ということです。図で表現すると以下のようになります。

これはグラフの傾きが0なので数学的に表現すると、\(\frac{d{\bf P}}{dt} = {\bf 0}\)となります。よって角運動量保存則は「角運動量を時間で微分したものは0になることを証明する」という問題に言い換えることができます。

では早速、角運動量を時間で微分してみましょう。 角運動量の定義\({\bf L} = {\bf r} \times {\bf P}\)と、積の微分の法則を用いると、

\begin{eqnarray}
\frac{d\bf L}{dt} = \frac{d \bf r}{dt} \times \bf P + \bf r \times \frac{d \bf P}{dt} = \bf r \times \frac{d\bf P}{dt}  (1)
\end{eqnarray}

\(\frac{d{\bf P}}{dt} = {\bf F}\)(運動量の時間変化率は質点が受ける外力に等しい)ことを用いれば、

\begin{eqnarray}
\frac{d\bf L}{dt} = \bf r \times \frac{d\bf P}{dt} =\bf r \times  \bf F (2)
\end{eqnarray}

となる。円運動を考える際には、力 \( \bf{F}\)は中心力として働き、位置ベクトル \( \bf{r}\)と必ず平行になるので、ベクトル積 \(\bf r \times \bf F= 0\) が成り立つ。よって

\begin{eqnarray}
\frac{d\bf L}{dt} = \bf r \times \frac{d\bf P}{dt} =\bf r \times \bf F= 0
\end{eqnarray}
となる。

積分してやれば、\(\bf L = \mathrm{Const}\)となるので、角運動量が保存されることがわかる。

3、フィギュアスケートの最後の方の動き

ここでは、TVでよく目にする、フィギュアスケートの最後の方の動きについて説明します。演技の最後の方になると必ずと言って良いほど、体を小さく丸めるシーンがありますね。

角運動量が保存されるということは、\(|L| =|\bf r \times \bf P| = |\bf r \times m {\bf v}|\)は一定なので、回転体の半径\( r \)が小さくなればなるほど、反対に速度\(v\)は大きくなりますね。

最後の方になり、回転速度が落ちると点数が低くなる原因になるので、少しでも回転速度を上げるために(見栄えをよくするために)、あのように体を丸め(回転半径を下げ)、回転速度を上げるのです。羽生選手が角運動量保存則を知ってるかは不明ですが笑、身近なところに物理は潜んでいます。



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