気体分子運動論(Joule, Kronigの理論)



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趣味で統計力学を勉強し始めました。アインシュタインのブラウン運動についての記事を読んでいるうちにもっと知りたいと思ったので。

 

今回は統計力学に入る前の気体分子運動論の取り扱いについて基本的な考えを知るため「Jouke,Kronigの理論」について書こうと思います。

 

参考文献は以下の記事で用いているものと同じです。

 

 


 

  1. 断面積S、高さhの容器(簡単のため立方体)を考えます。その中にN個の分子が入っているとします。そしてこれらの分子同士に相互作用はないものとします。

2. 分子はばらばらに動いていますが、平均をとるとばらつきはなく

  • N/3個はx軸方向に
  • N/3個はy軸方向に
  • N/3個はz軸方向に

動いているものとします。

3.  速さは皆\(v = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}\)であるとします。

4. 鉛直方向に速さvで移動している分子の数はこれまでの仮定からN/3個です。そのN/3個の分子は単位時間あたりに\(\frac{v}{2h}\)回、上下の壁に衝突します。

 

5. 単位時間あたりの一つの分子の運動量変化は\(2mv \times \frac{v}{2h} \)です

6. 壁が受ける力は単位時間あたりのN/3個の分子の運動量変化に等しいので、以下が成り立つはずです。なおpは圧力, Vは体積です。
\begin{eqnarray}
pS &=& \frac{N}{3} 2mv \times \frac{v}{2h} \\
\leftrightarrow p\frac{V}{h} &=& \frac{Nmv^2}{3h}\\
\leftrightarrow pV &=& \frac{Nmv}{3}
\end{eqnarray}

 


 

今回は一番簡易なモデルなため雑な計算方法ですが、異なる速度成分、異なる質量、異なる分子数として計算したステファンボルツマンのモデルを用いても厳密には意味が異なりますが
\begin{eqnarray}
pV =\frac{Nmv}{3}
\end{eqnarray}

 

の関係式は得られます。そしてステファンボルツマンの理論を用いることで「ボルツマン定数」を定義できたり、熱力学では得ることのできなかった関係式を得ることができます。

次回は「Jouke,Kronigの理論」を広げた「ステファンボルツマンの理論」について述べていきたいと思います。

 


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