三平方の定理と余弦定理の関係



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先日、僕が教えてもらったことを書こうかなと。

今回は「余弦定理と三平方の定理」の関係です。三平方の定理は実はいらない?ということに気づかされました。

 

余弦定理とは?

軽く復習します。

以下のような三角形があったとします。

この時に
\begin{equation}
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\theta
\end{equation}
が成り立ちます。要は三角形の6つの情報(辺三つ、角度三つ)のうち三つがわかれば他は全部計算で求まるということです。

これが余弦定理です。


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ピタゴラスの定理(三平方の定理)

次にピタゴラスの定理です。これについては以前に記事に書いたので詳細はそちらを参考にしてください。

>>>ピタゴラスの定理

ここでは以下の三角形の時の公式を書いておきます。

\begin{equation}
a^{2}=b^{2}+c^{2}
\end{equation}

 

余弦定理と三平方の定理の関係

本題に入ります。

二つの式を並べて確認して見ましょう。

\begin{eqnarray}
a^{2}&=&b^{2}+c^{2}-2bc\cos\theta\\
a^{2}&=&b^{2}+c^{2}
\end{eqnarray}

\(-2bc\cos\theta\)があるかどうかということが、みてわかると思います。

では、この\(-2bc\cos\theta\)が0になるときはどんな時でしょうか?

bとcは0になり得ないので、\(\cos\theta = 0\)の時であることがわかります。

要するに\(\theta = 90°\)の時です。

\(\theta = 90°\)はどんな三角形かというと、直角三角形ですね。

すなわち「三平方の定理」は「余弦定理」の一部、「三平方の定理」を全ての\(\theta\)に対して拡張したものが「余弦定理」であることがわかりますね。

授業で習うときは全く別々の公式のように習うかもしれませんが、実は余弦定理を知っていれば、ピタゴラスの定理を覚える必要はないのです。

式の向こうに見える関係に注目すると数学は楽しくなるので、こういう思考を大切にしていきましょう。


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地球のトンネル -反対側まで何分?-



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地球の重力

皆さん常日頃から感じている重力。この重力のおかげで、我々は大地の上に立つことができています。

また飛行機からスカイダイビングしたり、ジェットコースターで落ちるスリリングを楽しんでいるわけですね。

ではこの重力の向き、我々日本の反対側にいる人たちはどのように感じているのでしょうか。

答えは簡単、というよりも常識とでもいいましょうか。

地球の反対側にいる人だって普通に立っているのです。答えはやはり地面に向かって重力を感じている、です。

要するに、我々地球の上に住む生命は皆、地球の中心に向かって重力で引っ張られているのです。

地球の重力は地球中心に向かっている



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地球の中心を貫くトンネルを作ろう!

図1を見ればわかる通り、地球の反対側では重力の向きは反対ですね。

ということは、地球の中心までは重力で加速されてトンネルを落ちていき、中心を通り過ぎた後は重力で減速しながらトンネルを登っていく、そんなトンネルが作れるはずです。

作れるかどうかという現実問題はさておき、この夢のようなトンネルができれば、なんのエンジンも必要なくおよそ45分で反対側に到着できます。

必要なのは母なる大地、地球の重力エネルギーだけです。

図の上半分では、地球の重力 (青矢印) で加速され地球の中心へ向かう。 中心を通り過ぎた後は重力で減速されながら 反対側の地表に向かって上昇していく。

 

 

 

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